因数分解

POINT

• 「因数定理」を使う手順をマスターすれば，公式を覚えずにすむ．

因数分解は，公式をたくさん覚えている人も多いと思います．
しかし，以下で紹介する導出をマスターすれば，暗記しなくてもすぐに導けます．

以下で紹介する方法で，暗記量を削減しましょう！

ポイント：因数定理

$n$次多項式$f(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots + c_1 x+c_0$を考えましょう（$c_n,...,c_0$は定数）．
もし，定数$a$で$f(a)=0$を満たすものが存在したら，$$f(x)=(x-a)(\cdots)$$と因数分解することができます．これを，「因数定理」と呼びます．

つまりは，

「$a$が方程式$f(x)=0$の解」$\Leftrightarrow$「$f(x)=(x-a)(\cdots)$」
ということです．

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【コメント】
「2次方程式」の分野において
$\alpha,\beta$を2つの解とする2次方程式を1つ作れ
といった問題があります．この問題では「因数定理の$\Leftarrow$」を無意識に用いているはずです：
（回答例）
\begin{align}
f(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)\\
&=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta
\end{align}
とするとき，$f(x)=0$は題意を満たす2次方程式となる．

因数分解の例

それでは，公式として紹介されているものを導出しましょう．

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$の導き方．

$f(a)=a^3+b^3$とするとき$f(-b)=0$ですから，$\left(a-(-b)\right)=$$(a+b)$を因数として持つことがわかります．したがって，
\begin{align}
a^3+b^3
= (a+b)(\cdots)
\end{align}
と書けることがわかりました．この式は，

$(a$の3次式$)=(a$の1次式$)\times (\cdots)$
ですから，$(\cdots)$は$a$の2次式でなければいけません．$a$の次数が大きい順に係数を求めていきましょう．

右辺で$a^3$が現れるのは，「$(a+b)$の$a$」と「$(\cdots)$の$a^2$の項」を掛けたときだけです．これが左辺の$a^3$と一致しなくてはならないので，
\begin{align}
a^3+b^3
= (a+b)(a^2+\cdots)
\end{align}
となることがわかります．

このとき，右辺から「$a^2b$」という項が出てきますが，左辺にはこの項はありません．したがって，$a^2b$を打ち消すように$a$の1次の項を決めると
\begin{align}
a^3+b^3
= (a+b)(a^2-ab+\cdots).
\end{align}

今度は，右辺から「$-ab^2$」という項が出てきますが，これも左辺にはありません．したがってこれを打ち消すように定数項（$a$のゼロ次）をきめると，
\begin{align}
a^3+b^3
= (a+b)(a^2-ab+b^2)
\end{align}
となり，因数分解が完了しました．

注：最後の$b^2$は，左辺の$b^3$が出てくるように決めても良いです．

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$の導き方．

先程の例とほとんど同じなので，簡略化して解説します．

1. $f(a)=a^3-b^3$とすると，$f(b)=0$．
2. $a^3-b^3 = (a-b)(\cdots)$であることがわかる．
3. 左辺の$a^3$が出るように$a^2$の項を決めると，$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+\cdots)$．
4. 右辺の$-a^2b$を打ち消すように$a$の1次の項を決めると，$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab\cdots)$．
5. 右辺の$-ab^2$を打ち消すように$a$の0次の項を決めると，$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$．
   
   • あるいは，$b^3$が出るようにきめても良い．